La mediana. Probabilidad Y Estadistica

La mediana.

En el ámbito de la estadística, la mediana es el valor de la variable que deja el mismo número de datos antes y después que él, una vez ordenados estos. De acuerdo con esta definición el conjunto de datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil.

_Cálculo

Existen dos estrategias para calcular la mediana: considerando los datos en forma individual, sin agruparlos, o bien utilizando los datos agrupados en intervalos de clase. Veamos cada una de ellas.

Datos sin agrupar

Sean $x_1,x_2,x_3,ldots,x_n$ los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como $M e$ , distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición $(n + 1) / 2$ una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: $M e = x (n + 1) / 2$ .

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: $x 1 = 3$ , $x 2 = 6$ , $x 3 = 7$ , $x 4 = 8$ , $x 5 = 9$ => El valor central es el tercero: $x (5 + 1) / 2 = x 3 = 7$ . Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo ( $x 1$ , $x 2$ ) y otros dos por encima de él ( $x 4$ , $x 5$ ).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de las dos observaciones centrales. Cuando $n$ es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones $n / 2$ y $n / 2 + 1$ . Es decir: $M e = (x n / 2 + x n / 2 + 1) / 2$ .

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: $x 1 = 3$ , $x 2 = 6$ , $x 3 = 7$ , $x 4 = 8$ , $x 5 = 9$ , $x 6 = 10$ => Hay dos valores que están por debajo del $x_{frac {6} {2}} = x_3 = 7$ y otros dos que quedan por encima del siguiente dato $x_{{frac {6} {2}}+1} = x_4 = 8$ . Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: $M_e = frac {x_3 + x_4}{2} = frac {7 + 8} {2}=7,5$ .

Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si ${{frac {n} {2}}}$ coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abcisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

Dónde $N i$ y $N i - 1$ son las frecuencias absolutas acumuladas tales que $N_{i-1} < {{frac {n} {2}}} < N_{i}$ , $a i - 1$ y $a i$ son los extremos, inferior y superior, del intervalo donde se alcanza la mediana y $M e = a i - 1$ es la abscisa a calcular, la moda. Se observa que $a i - a i - 1$ es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.

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